domingo, 20 de Fevereiro de 2011

Pitágoras, Matemática e Música

"O ritmo é a base da
 Música apenas porque os
 números são a base da
Matemática"
                                              Pitágoras
Reza a lenda
 “Um certo Pitágoras, numa das suas viagens, passou por acaso numa oficina onde se batia numa bigorna com cinco martelos.
Espantado pela agradável harmonia que eles produziam, o filósofo aproximou-se e, pensando inicialmente que a qualidade do som e da harmonia estava nas diferentes mãos, trocou os martelos.
Assim feito, cada martelo conservava o som que lhe era próprio.
Após ter retirado um que era dissonante, pesou os outros e, coisa admirável, pela graça de Deus, o primeiro pesava doze, o segundo nove, o terceiro oito, o quarto seis, de não sei que unidade de peso.
           Guido d´Arezzo ( 992-1050?), no seu tratado da música Micrologus

Pitágoras acreditava que os números que medem as distâncias de cada um dos planetas à terra, ordenam-se de modo a corresponderem aos números característicos dos acordes musicais.
Deste modo, no movimento das esferas celestes exista uma música que os sentidos não apreendem, mas que, no silêncio das noites estreladas das costas de Itália, fazia vibrar harmoniosamente a alma do matemático e do místico que era Pitágoras.
 
A filosofia clássica defendia assim três tipos de música,  que foi classificada em música instrumentalis (produzida pela lira, flauta, etc.), a música humana (inaudível, mas produzida no homem pela interacção entre o corpo e a alma) e a música mundana (produzida pelo próprio cosmos e mais conhecida pela música do universo).  

Pitágoras estabeleceu então a primeira teoria matemática da música, ao estudar as relações dos comprimentos das cordas da lira e descobrindo que a frequência de uma corda vibrando é directamente proporcional ao seu comprimento.

Conhecia também a propriedade fundamental das cordas vibrantes:
 "dividindo uma corda ao meio, o som que ela produz está em uníssono com o som produzido pela corda inteira. Desta forma, o intervalo entre estes dois sons, a chamada oitava na terminologia dos músicos, está associada à fracção1/2"
Reparou aínda que eram particularmente agradáveis as combinações de sons, ligadas a outras fracções simples: quando se encurta a corda para 2/3, o som produzido forma um intervalo duma quinta em relação ao som original, e quando se encurta para 3/4, um intervalo duma quarta.
 
Desta forma compreende-se como para Pitágoras, a música (harmoniosa) evidenciava uma correspondência directa com a aritmética das fracções.
O facto de se obter a oitava ao fazer a soma dos intervalos duma quarta e duma quinta, é resultante da seguinte relação aritmética: o produto de 2/3 (fracção associada à quinta) por 3/4 (fracção associada à quarta) dá a fracção 1/2 associada à oitava.

 

Na música ocidental o tom é considerado o átomo musical e obtém-se fazendo a diferença entre uma quinta e uma quarta.
É produzido numa corda, fazendo desta vez, a subtracção de intervalos e a divisão das fracções, em vez de as multiplicar. O tom pitagórico estava então associado à fracção 8/9=(2/3):(3/4), ou seja, o intervalo de um tom, obtém-se encurtando a corda a 8/9.
Utilizando o nome das notas hoje conhecidas de todos - dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, dó - e uma vez que cada nota corresponde a um comprimento de corda, constrói-se então a gama pitagórica:
Dó – 1     Ré – 9/8    Mi – 81/64    Fá – 4/3
Sol – 3/2    Lá – 27/16    Si – 243/128     Dó - 2

Assim para se obter o ré, separado da nota fundamental dó por um tom, é necessário tomar a corda com 8/9 do comprimento e  para ter mi de 64/81 uma vez que 64/81=(8/9)*(8/9).Para definir o fá e o sol, são usados intervalos de base que são a quarta e a quinta; a partir do sol acrescenta-se de novo um tom para obter o lá, e ainda um tom para o si. Assim a fracção associada ao si é 128/243=(2/3)*(8/9)*(8/9).

 
Os intervalos entre as notas mi e fá, por um lado, si e dó da oitava superior por outro, aparecem como restos. Na gama pitagórica, não são iguais, verificando-se estarem próximos do meio tom.
 
A primeira transformação da gama pitagórica foi feita por Dydimos, em 63 a.C., utilizando fracções diferentes das anteriores, mas bastante próximas, que tiveram uma certa aceitação por serem mais simples:
Dó – 1              Ré – 9/8        Mi – 5/4                   Fá – 4/3
Sol – 3/2                  Lá – 5/3                      Si – 15/8                   Dó - 2

Era a chamada gama diatónica.



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