Critério de Eisenstein

Para quem pediu, aqui vai ...

O Critério de Eisenstein, do matemático alemão Gothold Eisenstein,  é uma "regra" que permite classificar alguns polinómios com coeficientes inteiros como irredutíveis.

Pelo lema de Gausss, estes polinómios também são irredutíveis sobre os números racionais.

" Seja f(x) um polinómio de coeficientes inteiros de grau n:

Se existe um número primo p  tal que

• p divide cada a_i para i < n;
• p não divide a_n;
• p² não divide a₀.

então f(x) é irredutível sobre os racionais."

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Engª Civil - 2ª Frequência de Análise II

Possível Resolução da Frequência

28 de Maio de 2010

Encontra-se disponível aqui uma possível resolução desta frequência.

Para qualquer esclarecimento adicional, por favor, contacte-me.

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Contar sem Contas

A VIOLETA acaba de abrir a caixa com o seu novo jogo de xadrez, e descobriu que em vez de 8 peões brancos, a caixa contém 8 torres brancas, por engano.

Supõe como nova regra que estas torres, movendo-se do modo habitual, se podem atacar mutuamente.

De quantas maneiras diferentes se podem colocar as 8 torres

no tabuleiro de modo a não se atacarem mutuamente?

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Os vértices da Estrela

SE NUMERARMOS de 1 a 5 os  cinco vértices de uma estrela e em seguida percorrermos a estrela no mesmo sentido, colocando o número 6 no vértice 1, o número 7 no vértice 2, o número 8 no vértice 3 e assim sucessivamente até ao número 2006,

  

em que vértice fica este número?

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Uma enorme potência de 2

ALBERTO ELDUQUE, catedrático de Álgebra da Universidade de Zaragoça, apresenta o novo desafio do EL PAÍS :

 

" Hemos copiado mal una potencia de 2.

Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301.

Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número."

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Un cubo de suma cero

O jornal El País está a publicar uma série de trinta problemas, a propósito da comemoração do centenário da Real Sociedad Matemática Española.

O texto do enunciado e o vídeo de apresentação do 8.º, " Un cubo de suma cero", proposto por Izar Alonso e Paula Sardinero, encontram-se, desde há alguns dias, na versão online:

   « A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices.
    ¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles. »

PS. No final do texto do El País encontra-se um link para os problemas publicados até agora.

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El piano gigantesco

Mais um problema publicado no El PAÍS, por ocasião do Primer Centenário De la Real Sociedad Matemática Española, desta vez da autoria do Professor Garay:

"Partiamos de un piano gigantesco en el que tocábamos el primer Do, luego la siguiente nota (el Re), a continuación saltábamos una y tocábamos el Fa, luego saltábamos dos y tocábamos el Si, luego saltábamos tres... y así hasta pulsar 7.000 teclas.

Se preguntaba:

 ¿Cuántas veces tocaremos el Do?

¿Habrá alguna nota que no suene nunca en esta larguísima sinfónía?"

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Tudo e Nada



Por Jair Cordeiro Lopes - Um blog que pensa

TODOS LEMBRAMOS DE  nossas primeiras aulas de geometria em que o professor nos explicava os conceitos e definições necessários à compreensão das figuras geométricas elementares. “Uma reta é a menor distância entre dois pontos”; “uma circunferência é uma linha curva fechada eqüidistante de um ponto”; “um plano pode ser definido por três pontos não alinhados no espaço” etc.

E o PONTO hein? Como era definido o ponto? Nesta altura da aula as explicações ficavam meio que na área das indeterminações, chegando as vezes próximas a conceitos filosóficos. Não havia uma definição assimilável simples para o ponto e os “cruzamento de duas linhas”, “pequeno sinal semelhante ao que o lápis imprime no papel” eram conceitos menos que satisfatórios, de modo que apelávamos para os dicionários e lá estava: “Configuração geométrica sem dimensão e que se caracteriza por sua posição” (Aurélio); “a grandeza considerada, em abstrato, sem dimensão alguma” (Francisco Fernandes).

Pronto! Finalmente o ponto já era alguma coisa, ou seja, nada. Alguma coisa sem dimensão entende-se que seja sem altura, largura e profundidade, não é mesmo? Tínhamos um ente que entrava compulsoriamente em conceitos fundamentais para a compreensão da geometria, ou seja, das linhas, figuras e sólidos e esse ente era uma “coisa” absolutamente adimensional, um nada!

Agora ampliemos nosso raciocínio e tomemos qualquer objeto ou ser que exista. Não nos preocupemos de que matéria ele é composto, apenas consideremos que podemos dividi-lo e subdividi-lo quase infinitas vezes, até torná-lo irreconhecível, apenas pontos.

Vejam bem! PONTOS! Podemos dizer que qualquer objeto compõem-se de pontos, não é mesmo? Ora o PONTO, como vimos, é adimensional, sem altura, largura ou profundidade. Conclui-se que, se tudo que existe é composto por pontos que não são nada, então TUDO é NADA. 

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Um Problema Clássico

IMAGINE-SE que se compra uma melancia com 2 kg.

Sabe-se que a melancia tem muita água e que por isso é um fruto extremamente hidratante.

Apenas 1% da melancia é matéria sólida - os outros 99% são água!
Suponha-se que se deixa a melancia ao sol e que ela naturalmente se desidrata passando a ter só 98% de água.

Quanto pesará então a melancia?

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As notas musicais

SABE-SE QUE AS NOTAS MUSICAIS, num piano, estão associadas às teclas conforme mostra a figura.

A figura também representa o grupo de notas que se vai repetindo, sendo que, as notas do grupo seguinte são mais agudas que as do grupo anterior. É fácil identificar uma nota musical porque ela ocupa sempre a mesma posição relativa às teclas pretas. Por exemplo, o Mi fica imediatamente a seguir ao conjunto das duas teclas pretas.

Imagine-se agora um piano em que a sua primeira tecla (a que está mais à esquerda), é um Lá.

Qual é a nota que está associada à 32ª tecla branca?

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Há geometria hiperbólica por aí !

Londres vista por uma LOMO "olho de peixe":

Uma imagem de Escher:

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O Puzzle

O ANTÓNIO fez uma pintura numa cartolina rectangular com 90 cm de comprimento e 84 cm de largura para poder fazer um puzzle.

O professor de EVT pediu-lhe para dividir a cartolina em quadrados, todos iguais, e que fossem o maior possível.

Quantas peças vai ter o puzzle?

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Um clássico de Sam Loyd

QUANTOS COPOS são necessários para equilibrar a última balança ?

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