Nadir Afonso

A Emoção da Geometria

Nadir Afonso nasceu em Chaves em 1920.

Aos 90 anos, é aínda hoje dono de uma sabedoria incomparável. Este génio das artes plásticas continua a produzir com uma força anímica indescritível, porque a Arte é para ele o oxigénio que respira e a fonte de luz que lhe dá energia para viver e sonhar.

O seu percurso artístico foi realizado através de constantes descobertas pictóricas, passando por uma vertente "naturalista", pelo Expressionismo, Surrealismo chegando ao Abstraccionismo Geométrico.

Toda a sua obra artística e teórica, desde o seu primeiro círculo perfeito, desenhado na parede da sala da sua casa, com apenas 4 anos de idade, às suas composições pictóricas mais recentes, foram pautadas pela Emoção da Geometria.

A obra de Nadir é esboçada numa estrutura de referência urbana onde os edifícios estão representados de forma rítmica, sugerindo o cruzamento de espaços e superando o tradicional geometrismo estático.

Na sua obra sente-se o pulsar de uma arquitectura que vibra, a cada traço preciso, numa "composição matemática" que dispõe formas trapezóidais e parabolóides numa evocação de cidades.

 

Nadir Afonso é um construtor de padrões de forma e cor, revelando nas suas telas um ímpar prodígio da técnica que reforça com a sua interpretação estética do acto criativo.

A sua obra revela uma Arte que, ultrapassando a figuração, permaneceu fiel aos princípios da harmonia universal, onde a forma e a cor se confundem segundo as leis da geometria.

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Exercícios de Primitivas

Possível Resolução de uma Primitiva da

Freq. de Matemática e Informática - Módulo I

ESAC, 16 de Fevereiro de 2011

 

Na resolução desta primitiva será utilizada a técnica de primitivação por partes.

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Donald no País da Matemática

O Alfabeto do Universo

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Alice no País das Maravilhas

 CRÓNICA DE NUNO CRATO
(Fevereiro de 2010)

Se Lewis Carroll não tivesse escrito as duas aventuras de Alice, não seria conhecido por esse pseudónimo mas sim pelo seu verdadeiro nome: Charles Lutwidge Dodgson (pronuncia-se dód-san). E se não tivesse escrito esses dois livros e vários outros de histórias maravilhosas não seria conhecido como escritor, mas talvez como fotógrafo - Dodgson foi um dos primeiros a encarar a fotografia como uma arte e não como um mero registo de imagens. Os seus retratos ainda hoje são pungentes, em especial as imagens de crianças em poses melancólicas.

E se não tivesse sido nem escritor nem fotógrafo seria certamente conhecido como um dos vultos da época na sua disciplina: a matemática.

Todo o humor absurdo que perpassa por "Alice no País das Maravilhas" e pelas suas outras obras de ficção é um humor que muitos matemáticos reconhecem como seu. Os trocadilhos e as pequenas brincadeiras revelam uma preocupação com o significado das palavras e expressões e a construção de contradições derivadas de ambiguidades. É um uso da lógica e da matemática que ainda hoje surpreende os leitores.

Quem esteja um pouco mais desperto para a leitura de temas científicos verá também deliciosas referências a tópicos eruditos de matemática, lógica e astronomia.
Logo no princípio, quando Alice cai pelo buraco do coelho e pergunta a si própria quantas milhas terá caído, quando pensa que se aproxima do centro da Terra e procura recordar-se da dimensão do planeta, ela está a protagonizar uma metáfora científica muito discutida na época vitoriana - na realidade, uma metáfora que vem da antiguidade clássica.

Perto do século VIII a.C., o poeta grego Hesíodo tinha imaginado uma bigorna a cair dos céus e escrito que ela demoraria nove dias a atingir a Terra. Deixando-a cair da Terra para os infernos, ela demoraria também nove dias a cair no fundo do universo. O tema foi retomado na era romana pelo historiador e ensaísta grego Plutarco (46-120). Sabendo que a Terra é esférica, Plutarco perguntou o que aconteceria a um corpo que caísse por um buraco que levasse a uma Terra oca: pararia no centro? O problema ocupou muitos filósofos e homens de ciência.

Galileu foi o primeiro a solucioná-lo correctamente. Imaginou um túnel que atravessasse a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Um objecto largado à superfície desceria aceleradamente pelo túnel até alcançar o centro. Nessa altura, continuaria a sua viagem, mas em velocidade decrescente, até alcançar o outro extremo do planeta. Nesse momento estancaria e, deixado livremente, voltaria a cair pelo túnel, acelerando, passando pelo centro da Terra, desacelerando e regressando ao ponto de partida. Deixado a si próprio, esse corpo oscilaria indefinidamente, entre um extremo e outro do planeta.

Galileu estava certo, desprezando o atrito do ar e o movimento da Terra. O problema voltou a ser discutido por Newton e Euler, e continua a sê-lo nos dias de hoje como exercício de mecânica e de cálculo.

Feitas as contas, Alice demoraria 42 minutos a atingir o centro da Terra e outro tanto a reaparecer nos antípodas - nas "antipatias" segundo a brincadeira de Lewis Carroll.

As referências científicas atravessam todas as aventuras de Alice.

Nada como lê-las, pensá-las e revisitá-las.

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A Espiral Logarítmica

Equação da Escala Musical Temperada

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A música de Fibonacci

ou Fibonacci na Música

Math Rock (literalmente Rock Matemático) é um género musical que surgiu no final da década de 80  (séc. XX)  com influências do Punk rock e do Rock progressivo. 

A composição musical neste género de música é bastante complexa incorporando no seu ritmo, tido como matemático,  métricas incomuns.

Os instrumentos são geralmente tocados de forma atonal ou politonal, nunca se desnvovolvendo um tema  num único tom. Nem sempre sincronizados, são acompanhados de voz, quando presente, alternando entre o ritmo calmo e o gritado.

Em Novembro de 2006  a banda Tool, de Rock Math, deu um concerto em Lisboa onde interpretou, entre outros, o tema Lateralus.

Nele pode "ver-se" de uma forma inconfundível a esrutura de Sucessão de Fibonacci.

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Estatística

Engª Informática

Ano lectivo 2010-2011

PROGRAMA PREVISTO

 

PROBABILIDADES - Introdução: experiência aleatória, espaço dos resultados, acontecimentos. Definição de Probabilidade segundo Kolmogorov e suas consequências. Probabilidade condicionada. Independência de acontecimentos.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES - Variáveis aleatórias reais discretas e contínuas. Momentos simples e centrados. Parâmetros de ordem. Exemplos de leis de probabilidade discretas e contínuas. Teorema do limite central e aplicações.

ESTIMAÇÃO PARAMÉTRICA - Introdução à estatística inferencial. Breve revisão de estatística descritiva. Estimação pontual: estimadores, classes de estimadores, propriedades da média e da variância empíricas, métodos de estimação pontual. Estimação intervalar: intervalos de confiança, método da variável fulcral, aplicações (intervalos de confiança para a média de uma população, intervalos de confiança para a variância de uma população gaussiana, intervalos de confiança para uma proporção).

TESTES DE HIPÓTESES - Generalidades. Testes paramétricos. Aplicações (testes para a média de uma população, testes para a variância de uma população gaussiana, testes para uma proporção). Testes de ajustamento do Qui-quadrado.

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - Construção e validação do modelo. Intervalos de confiança e testes para os parâmetros do modelo. Previsão.

 MÉTODO DE AVALIAÇÃO
1ª MODALIDADE - avaliação contínua

Esta modalidade pressupõe a presença em pelo menos 75% das aulas práticas e a realização de 3 frequências.

As frequências serão realizadas no DMUC. Cada frequência terá a duração máxima de 1h30m e será cotada para 20 valores.

A segunda frequência só poderá ser realizada pelos alunos que tiverem obtido, na primeira, nota superior ou igual a 6 valores. Analogamente, a terceira frequência só poderá ser realizada pelos alunos que tiverem obtido, na segunda, nota superior ou igual a 6 valores.

A nota final, N, é a média aritmética das notas das três frequências.

O aluno obterá aprovação na disciplina, segundo esta modalidade, se obtiver, na 3ª frequência, nota superior ou igual a 6 e se N for superior ou igual a 9.5 valores.

As datas previstas para as frequências (em horário a fixar pelos Recursos Lectivos do DMUC) são as seguintes:

1ª frequência: 16/03/2011

2ª frequência: 27/04/2011

3ª frequência: 01/06/2011

2ª MODALIDADE - avaliação por exame final

Nesta modalidade há duas épocas de exame: época normal e época de recurso.

Os exames serão realizados no DMUC. Cada exame terá a duração de 2h30m e será cotado para 20 valores.

O aluno obterá aprovação na disciplina, segundo esta modalidade, se a nota obtida, N, for superior ou igual a 9.5 valores.

Bibliografia:

Gonçalves, E., E. Nogueira, A.C. Rosa, Noções de Probabilidades e Estatística, 2010, Departamento de Matemática, FCTUC (página da disciplina – Material de Apoio).

(Obs. O módulo 3 sobre Vectores Aleatorios Reais não será leccionado)

Murteira, B., C. S. Ribeiro, J. A. Silva, C. Pimenta, Introdução à Estatística, 2007, 2ª ed., McGraw-Hill, Lisboa. 

Bibliografia complementar

Andrews, L.C., Phillips, R.L., Mathematical Techniques for Engineers and Scientists, 2003, Spie, Washington.

Devore, J. L., Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 2000, 5ª ed., Duxbury.

Guimarães R., Sarsfield Cabral, J., Estatística, 2007, 2ª ed., McGraw-Hill, Lisboa.

Montgomery, D.C., G.C. Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers, 4ª ed., 2007, Wiley.

Moore, D., McCabe, G., Introduction to the practice of statistics, 2006, Freeman, New York

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Matemática e Informática - Módulo I

ESAC

Mais algumas primitivas da frequência de 16/02/2011

Se pretender a resolução detalhada, por favor, contacte-me.

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Mozart e os números inteiros

“Para conseguir aplausos, é preciso escrever algo tão insignificante a ponto de poder ser cantado por um cocheiro, ou tão ininteligível que agrade precisamente porque ninguém de bom senso é capaz de compreendê-lo.”

Mozart,  dirigindo-se ao pai

As relações entre a matemática e a música tais como acústica, afinação e temperamento,  influências na notação, estruturas matemáticas em formas musicais, entre outras, remontam a tempos muito distantes.

Um caso curioso é a influência em Mozart da numerologia e da gematria,  doutrinas que, fortemente ligadas a práticas religiosas, já haviam  influenciado a arquitectura e a arte. Aprendê-las  não é particularmente difícil pois ambas  utilizam  matemática  básica. O problema  surge com as diversas interpretações que um número inteiro pode ter decorrentes das conotações próprias da cultura de proveniência. 

 A Franco-Maçonaria e o Cristianismo estão na origem das doutrinas elementares subjacentes à numerologia. O ramo da Maçonaria a que Mozart pertenceu atribuía à tradição egípcia a principal fonte de sabedoria. De acordo com a aritmética egípcia, tanto o número 3 como o número 6 têm uma conotação masculina.  Contudo,  o número 3 é o número mais importante, visto estar associado às tríades maçónicas. Já os números 5 e 8 estão associados à feminidade, enquanto que  7 e 18 têm implicações sagradas.

Para os Maçons, o número 18 assume particular relevo, pois estes consideram que o dia começa às 18 horas (seis da tarde). Outra razão para a importância do 18 deve-se à conhecida propriedade dos egípcios segundo a qua o perímetro de um rectângulo 6x3 é numericamente igual à sua área.

Na tradição egípcia também o 42 e 45 tinham significados especiais por serem números piramidais ou  triangulares:

42=2x21, em que 21=1+2+3+4+5+6

e

55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

 O sistema numerológico atrás referido controla todos os aspectos da Flauta Mágica.

Inclusivamente, a própria data da estreia desta ópera foi meticulosamente escolhida: 30 de Setembro (30.7embro), data que, para um Maçon como foi Mozart, correspondia a 1 de Outubro (18obro), visto que o espectáculo começava depois das 18 horas.

Outro exemplo, também relativo ao 18 diz respeito à personagem Sarastro. O seu papel na ópera é controlado de modo significativo por este número: Sarastro tem 18 participações cantando em 180 (18x10) compassos, e cada uma das suas duas árias tem 18 melodias. Além destas duas árias, os sacerdotes de Sarastro (em número 18) abrem a mudança de cena 5, cada um levando a sua pirâmide e cantando aos deuses egípcios. As 6 linhas de texto dos sacerdotes ocupam 18 compassos, com 4 compassos no final para permitir que as últimas palavras sejam cantadas 3 vezes no fim.

Mozart também usou a gematria na Flauta Mágica, tanto em palavras como em frases de texto, fazendo corresponder números inteiros aos nomes das pessoas que participaram na ópera.

No verão de 1788, sem que ninguém lhas tivesse encomendado,  Mozart escreveu 3 sinfonias que viriam a ser as suas últimas.

A elaboração destas 3 obras foi consequência da sua profunda adesão dos ideais maçónicos.

Mozart estava prestes a completar 33 anos - número de elevada importância para a Maçonaria - que, segundo a interpretação ortodoxa da Bíblia, seria a duração em anos da vida de Cristo.

Existem 3 tonalidades ligadas à Maçonaria que Mozart fez questão de utilizar: Eþ (mi bemol), a tonalidade preferida na Maçonaria; C (dó), a chamada tonalidade "branca"; e  G (sol), tonalidade muito especial em Mozart e que representava um símbolo importante na Franco-Maçonaria.

 O 18 aparece em grande relevo na sinfonia de sol maior cuja grande parte dos  temas têm essa base. As duas outras sinfonias, embora em menor escala, também revelam exemplos de numerologia. O claro  carácter maçónico é visível na sinfonia em Mi bemol, particularmente a exposição tripla do  floreado inicial.   A  primeira parte do segundo tema é novamente um 18 (6+6+3+3), tal como em 18 é o primeiro tema do segundo andamento (6+12).

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Mersenne, Matemática e Música

" A audição não é outra coisa

 senão o enumerar das vibrações do ar, quer seja a

 alma que as conta sem que nos apercebamos, quer ela sinta o

número que a toca."

         Marin Mersenne - 1636

Baseando-se nas leis das cordas vibrantes,  Mersenne (1588-1648), no seu livro "L´Harmonie Universelle” estabelece os princípios fundamentais da harmonia.   

Apresenta assim, a gama temperada e descreve as leis físicas que determinam as frequências das vibrações das cordas.

Mersenne era ao mesmo tempo um filósofo e um cientista, considerando que as questões da harmonia não são apenas técnicas, de matemática ou de física, mas estão directamente ligadas a questões filosóficas.

Enunciou as seguintes leis relativas às cordas vibrantes:

         1ª - Para uma dada corda com determinada tensão, o período de vibração da corda varia de acordo com o seu comprimento. Assim, como a frequência é o inverso do período, verifica-se que a frequência varia com o inverso do comprimento da corda.

         2ª -  Para uma corda com um dado comprimento, o período varia com o inverso da raiz quadrada da tensão. Tal significa, em particular que, quanto mais se estica a corda, mais agudos se tornam os sons.

         3ª -  Quando são dados o comprimento e a tensão duma corda, o período varia com a raíz quadrada da densidade linear do material de que é feita a corda. Este princípio explica que as cordas “mais grossas” do violino produzam sons mais graves que as cordas “mais finas”.

Estas leis constituem as leis fundamentais da música das cordas.

À semelhança de Mersenne, Descartes, publicou em Itália sob o nome de Renati Descartes, um livro onde apresenta uma teoria da música muito próxima da de Mersenne. Contudo, foi d´Alembert o primeiro a dar uma demonstração rigorosa da equação matemática que rege as cordas.

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Pitágoras, Matemática e Música

"O ritmo é a base da

 Música apenas porque os

 números são a base da

Matemática"

                                              Pitágoras

Reza a lenda

 “Um certo Pitágoras, numa das suas viagens, passou por acaso numa oficina onde se batia numa bigorna com cinco martelos.

Espantado pela agradável harmonia que eles produziam, o filósofo aproximou-se e, pensando inicialmente que a qualidade do som e da harmonia estava nas diferentes mãos, trocou os martelos.

Assim feito, cada martelo conservava o som que lhe era próprio.

Após ter retirado um que era dissonante, pesou os outros e, coisa admirável, pela graça de Deus, o primeiro pesava doze, o segundo nove, o terceiro oito, o quarto seis, de não sei que unidade de peso. “

           Guido d´Arezzo ( 992-1050?), no seu tratado da música Micrologus

Pitágoras acreditava que os números que medem as distâncias de cada um dos planetas à terra, ordenam-se de modo a corresponderem aos números característicos dos acordes musicais.

Deste modo, no movimento das esferas celestes exista uma música que os sentidos não apreendem, mas que, no silêncio das noites estreladas das costas de Itália, fazia vibrar harmoniosamente a alma do matemático e do místico que era Pitágoras.
 

A filosofia clássica defendia assim três tipos de música,  que foi classificada em música instrumentalis (produzida pela lira, flauta, etc.), a música humana (inaudível, mas produzida no homem pela interacção entre o corpo e a alma) e a música mundana (produzida pelo próprio cosmos e mais conhecida pela música do universo).  

Pitágoras estabeleceu então a primeira teoria matemática da música, ao estudar as relações dos comprimentos das cordas da lira e descobrindo que a frequência de uma corda vibrando é directamente proporcional ao seu comprimento.

Conhecia também a propriedade fundamental das cordas vibrantes:

 "dividindo uma corda ao meio, o som que ela produz está em uníssono com o som produzido pela corda inteira. Desta forma, o intervalo entre estes dois sons, a chamada oitava na terminologia dos músicos, está associada à fracção1/2"

Reparou aínda que eram particularmente agradáveis as combinações de sons, ligadas a outras fracções simples: quando se encurta a corda para 2/3, o som produzido forma um intervalo duma quinta em relação ao som original, e quando se encurta para 3/4, um intervalo duma quarta.

 

Desta forma compreende-se como para Pitágoras, a música (harmoniosa) evidenciava uma correspondência directa com a aritmética das fracções.

O facto de se obter a oitava ao fazer a soma dos intervalos duma quarta e duma quinta, é resultante da seguinte relação aritmética: o produto de 2/3 (fracção associada à quinta) por 3/4 (fracção associada à quarta) dá a fracção 1/2 associada à oitava.

  

Na música ocidental o tom é considerado o átomo musical e obtém-se fazendo a diferença entre uma quinta e uma quarta.

É produzido numa corda, fazendo desta vez, a subtracção de intervalos e a divisão das fracções, em vez de as multiplicar. O tom pitagórico estava então associado à fracção 8/9=(2/3):(3/4), ou seja, o intervalo de um tom, obtém-se encurtando a corda a 8/9.

Utilizando o nome das notas hoje conhecidas de todos - dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, dó - e uma vez que cada nota corresponde a um comprimento de corda, constrói-se então a gama pitagórica:

Dó – 1     Ré – 9/8    Mi – 81/64    Fá – 4/3

Sol – 3/2    Lá – 27/16    Si – 243/128     Dó - 2

Assim para se obter o ré, separado da nota fundamental dó por um tom, é necessário tomar a corda com 8/9 do comprimento e  para ter mi de 64/81 uma vez que 64/81=(8/9)*(8/9).Para definir o fá e o sol, são usados intervalos de base que são a quarta e a quinta; a partir do sol acrescenta-se de novo um tom para obter o lá, e ainda um tom para o si. Assim a fracção associada ao si é 128/243=(2/3)*(8/9)*(8/9).

 Os intervalos entre as notas mi e fá, por um lado, si e dó da oitava superior por outro, aparecem como restos. Na gama pitagórica, não são iguais, verificando-se estarem próximos do meio tom.

 

A primeira transformação da gama pitagórica foi feita por Dydimos, em 63 a.C., utilizando fracções diferentes das anteriores, mas bastante próximas, que tiveram uma certa aceitação por serem mais simples:

Dó – 1              Ré – 9/8        Mi – 5/4                   Fá – 4/3

Sol – 3/2                  Lá – 5/3                      Si – 15/8                   Dó - 2

Era a chamada gama diatónica.

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